Eine realistischere Betrachtung der Volatilität

In einem früheren Artikel habe ich über Diversifikation geschrieben und darüber wie sie uns hilft die Volatilität im Depot gering zu halten. Die Beispiele, die ich da gewählt habe waren aber alle ein bisschen optimistisch. In der Realität finden wir wahrscheinlich niemals zwei perfekt negativ korrelierte Aktien und schon perfekt unkorrelierte Aktien zu finden ist vermutlich unmöglich.

Heute wollen wir uns das Thema Volatilität und Korrelationen mal etwas genauer angucken. Das wird aber erfordern, dass wir uns deutlich mehr mit der Mathematik auseinandersetzen und so wird dieser Artikel wahrscheinlich technisch sehr anspruchsvoll. Ich hoffe ich schrecke damit hier niemanden ab. Das ist sicher nicht nötig um erfolgreich in Aktien zu investieren aber auf deinem Weg als investor kann es auch nicht schaden und für mich kommt dieses Thema immer zu kurz in den Blogs, die ich lese. Ich beantworte auch gerne alle Nachfragen zu Details, die unklar sind. Also fangen wir an:

Mittelwert und Standardabweichung

Angenommen ich habe eine Aktie die ich verfolge. Ich überprüfe den Kurs dieser Aktie einmal pro minute und nach 10 Minuten fragt mich jemand bei welchen Kurs diese Aktie steht.

Die werte der letzten 10 Minuten waren 10.09€, 10.03€, 10.00€, 9.98€, 9.99€, 9.95€, 10.05€, 10.10€, 10.08€, 9.93€.

Realistisch würden wir jetzt wahrscheinlich den Mittelwert nennen. Den kann jeder ausrechnen, indem er die Werte addiert und durch die Anzahl der Werte teilt.

Mathematisch würde man das so schreiben: $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}$

Das bedeutet der mittelwert $\bar{x}$ von $x$ ist die Summe über alle einzelnen $x_i$ wobei $i$ von $1$ bis $n$ geht.

In einem Chart würde der Kurs der Aktie so aussehen:

Die nächste Frage von einem Interessierten könnte sowas sein wie “Wie Stark schwankt die Aktie denn?”.

Hier müssten wir ein bisschen weiter nachdenken. Wie definieren wir ein sinnvolles Maß für die Schwankung? Eine intuitive Möglichkeit wäre einfach den Mittelwert des Abstands vom Aktienkurs $x_i$ zum Mittelwert $\bar{x}$ zu nehmen. Da wir hier nicht daran interessiert sind in welche Richtung die Schwankung geht können wir noch das quadrat davon nehmen, um das Vorzeichen los zu werden.

In Formeln sieht das dann so aus $\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (\bar{x} – x_i)^2}{n-1}$.

Die Schwankung, die wir hier aus Gründen der Konvention $\sigma^2$ nennen entspricht dem mittleren quadratischen Abstand des Aktienkurses vom Mittelwert. Hier haben wir aus Konsistenzgründen durch $n-1$ geteilt anstatt $n$. Das im Detail zu erklären würde hier zu weit führen. Die Kurzfassung einer Erklärung davon ist, dass wir nurnoch $n-1$ unabhängige Datenpunkte haben, weil wir schon den Mittelwert bestimmt haben. Wer mehr Details haben möchte kann hier anfangen zu suchen.

Im Chart sieht das wie folgt aus:

Aktienkurs als Funktion der Zeit in Minuten. Zusätzlich zum Mittelwert ist die Standardabweichung eingezeichnet.

Hier sollte man bemerken, dass der Aktienkurs natürlich auch mal aus dem Schwankungsbereich raus kommen kann. Die Schwankung ist ja nur der mittlere Abstand von Mittelwert.

Was hat das jetzt alles mit Korrelationen zutun?

Um zu verstehen was das jetzt alles mit den Korrelationen zwischen zwei Aktien zutun hat müssen wir noch einmal einen schritt zurück gehen. Wir wollten uns ansehen wie die Schwankungen der einen Aktie mit den Schwankungen der anderen Aktie zusammenhängen.

Betrachten wir also mal zwei Aktien. Aktie A und Aktie B. Diese beiden Aktien sehen zusammen im Chart wie folgt aus:

Zwei verschiedene Aktien als Funktion der Zeit.

Diese beiden Aktien sind übrigens ein realistisches Beispiel für sehr korrelierte Aktien. Eigentlich sind das hier überhaupt keine Aktien. In Wahrheit sind das die echten Kurse von zwei ETFs. Einmal einem NASDAQ-100 ETF und einem MSCI World Information Technology ETF. Da die beiden hauptsächlich die gleichen Unternehmen enthalten ist eine starke korrelation auch nicht weiter verwunderlich.

Wie aber drücken wir jetzt aus wie stark die Korrelation ist?

Dazu bestimmen wir den Korrelationskoeffizienten. Der ist definiert als $\rho_{A,B} = \frac{\sum_{i=1}^n (\bar{x}^A – x_i^A)(\bar{x}^B-x_i^B)}{\sigma^A\sigma^B}$,

Wobei alles was mit Aktie A zutun hat den Buchstaben A bekommt und alles was mit Aktie B zutun hat den Buchstaben B bekommt.

Wenn wir für diese beiden Aktien den Korrelationskoeffizienten ausrechnen finden wir $\rho_{A,B} = 0.99$. Der Korrelationskoeffizient kann zwischen $-1$ (negative Korrelation) und $+1$ (positive Korrelation) liegen. Wir haben hier also wie man auch schon am Chart sehen konnte nahezu perfekt positive Korrelation. Diese beiden ETFs kaufen trägt also überhaupt nicht zur diversifikation des Portfolios bei.

Ein anderer Blickwinkel

Sehen wir uns das ganze mal aus einem anderen Blickwinkel an. Das Ziel bei unserer Diversifikation ist es die Volatilität zu minimieren während die Rendite gleich bleibt.

Wenn wir uns also mal die Portfolios aus dem letzten Artikel unter diesen Gesichtspunkten angucken ergibt sich folgendes Bild:

Rendite als Funktion der Volatilität für die beiden Portfolios aus dem letzten Artikel.

Da wir hier möglichst maximale Rendite bei minimaler Volatilität erreichen wollen ist also das linke Portfolio, wie wir schon festgestellt haben das bessere Portfolio.

Sehen wir uns das ganze mal für ein Portfolio mit mehr als 2 Aktien an. Ich nehme jetzt mal noch zwei ETFs dazu. Einmal einen Low Carbon 100 Europe ETF (nenne ich jetzt einfach Aktie C) und einen Emerging Markets SRI ETF (Aktie D) in der Hoffnung, dass diese nicht so stark damit korreliert sind.

Jetzt können wir in unserem Portfolio aus 4 unterschiedlichen Positionen nurnoch die Gewichtung der einzelnen Aktien verändern.

Rendite als funktion der Volatilität fur 50.000 verschieden Portfolios gebildet aus den vier Aktien A,B,C und D.

Hier habe ich 50.000 unterschiedliche Portfolios aus den vier Aktien A,B,C und D gebildet. Wer bis hierhin noch aufmerksam dabei ist merkt, dass wir möglichst weit oben und möglichst weit links in diesem Plot sein wollen. Die Obergrenze an die wir mit unseren Portfolios ran kommen nennen wir Efficient Frontier. Ein Portfolio das mehr Rendite bringt bei gleicher Volatilität ist besser. Genauso ist ein Portfolio das weniger volatil ist bei gleicher Rendite besser. Wir können also aus den Korrelationen unserer Aktien im Depot ausrechnen welche Gewichtung optimal ist.

Der Sharpe-Quotient

Um sich jetzt zu entscheiden welches der Portfolios an der Efficient Frontier wir haben wollen müssen wir die Portfolios weiter einteilen.

Eine Möglichkeit ist hier der Sharpe-Quotient. Der ist definiert als die überrendite verglichen mit einer risikofreien Rendite geteilt durch die Volatilität. In Formeln als $ S = \frac{R^a-R^f}{\sigma}$ wobei $R^a$ die Rendite des Portfolios and $R^f$ die Rendite eurer Risikofreien Anlagemöglichkeit ist. In der Praxis könnte $R^f$ also der Zinssatz eures Tagesgeldkontos sein. Hierbei gilt, dass der Sharpe-Quotient nach Möglichkeit maximal sein sollte.

Wir können uns jetzt also den Sharpe-Quotienten unserer Portfolios ansehen:

Sharpe Quotient, Rendite und Volatilität auf einen Blick.

Die beiden Farblich hervorgehobenen Punkte markieren den Punkt mit der geringsten Volatilität und den Punkt mit dem maximalen Sharpe-Quotienten.

Bedenke, dass es hier aber noch viele andere Möglichkeiten gibt das für dich optimale Portfolio zu finden.

Zusammenfassung:

In diesem Artikel haben wir einige sehr technische Themen rund um die Diversifikation unseres Aktienportfolios besprochen.

Korrelierte Aktien eignen sich demnach nicht um das Portfolio “breiter aufzustellen” und in der Realität sind die meisten Aktien irgendwie korreliert. Es lohnt sich also genauer hin zu sehen.

Falls Details dieses sehr technischen Artikels nicht klar sind stellt gerne Fragen. Ich kann auf Anfrage auch die Skripte teilen mit denen ich das für mein Portfolio bestimmt habe.

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