Rule of 72?

Heute habe ich einen Artikel auf Instagram über die 72-er Regel gelesen. In den Kommentaren dazu gab es dann auch sofort einiges an Widerspruch und manchmal ist es vielleicht hilfreich zu verstehen wo so eine Regel herkommt und wann man sie anwenden darf. Dieser Artikel wird daher eher wieder ein bisschen mathematisch. Ich gebe mir aber Mühe alles so anschaulich wie Möglich zu erklären. Wenn ein Detail nicht ganz klar ist kann ich das aber gerne noch weiter erläutern.

72-er Regel

Zuerstmal müssen wir aber klären worum es überhaupt geht. Die 72-er Regel ist eine Regel mit der man bestimmt, wie viele Jahre vergehen bis man bei einer bestimmten jährlichen Rendite sein kapital verdoppelt hat. Für Anleger ist es also ganz interessant diese Regel zu kennen. Die Regel ist dabei denkbar einfach, sie lautet $\frac{72}{\mathrm{R}} = \mathrm{N}$. Dabei ist $\mathrm{R}$ die Rendite pro Jahr in Prozent, für einen typischen ETF könnte sie also zum Beispiel 7 sein, und $\mathrm{N}$ die daraus resultierende Anzahl an Jahren bis sich das Kapital verdoppelt hat.

Wenn ich so eine Regel lese probiere ich immer zuerst aus ob sie tatsächlich funktioniert. Wenn wir von 7% Rendite ausgehen ergibt sich aus der 72-er Regel eine Dauer von 10,3 Jahren. Rechnet man das ganze exakt ergeben sich 10,2 Jahre. Die Regel scheint also ganz gut zu funktionieren. Das ganze habe ich auch nochmal in einer Grafik dargestellt.

Kapitalentwicklung bei unterschiedlichen Renditen als Funktion der Zeit in Jahren. Der Zeitpunkt der Verdopplung ist der Moment in dem die jeweilige Kurve die horizontale Linie bei der 2 schneidet.

Um sicher zu gehen, dass die Regel nicht nur zufällig bei 7% Rendite funktioniert können wir noch ein paar andere Zahlen ausprobieren. Bei 3% Rendite ergibt die 72-er Regel 24 Jahre. Das exakte Ergebnis wären hier 23,45 Jahre. Auch das scheint also zu funktionieren.

Bei 5% Rendite ergibt die 72-er Regel 14,4 Jahre. Hier wäre das exakte Ergebnis 14,2 Jahre. Die 72-er Regel scheint also ganz gut zu funktionieren.

In dem Beitrag auf Instagram, den ich dazu gesehen habe wurde hier in den Kommentaren aber sofort das Beispiel gebracht, dass bei 100% Rendite pro Jahr das kapital ja nach einem Jahr verdoppelt wäre. Nach der 72-er Regel sollte das aber schon nach 0,7 Jahren passieren. Als Antwort wurde genannt, dass die 72-er Regel bei sehr kleinen und sehr großen Renditen stärker abweicht und nur eine Näherung sei.

Warum genau das so ist sehen wir uns jetzt mal etwas genauer an, damit wir verstehen wann wir diese Regel anwenden können.

Erklärung der 72-er Regel

Die 72-er Regel beantwortet die Frage nach wie vielen Jahren sich das Startkapital bei einer bestimmten Rendite verdoppelt hat. Mathematisch ausgedrückt löst sie also die Gleichung $(1+\mathrm{R}/100)^N = 2$. Wobei wieder R die Rendite in % ist und N die Anzahl der Jahre.

In der Schule haben wir gelernt, dass man so eine Gleichung exakt mit dem Logarithmus löst. Die genaue Lösung ist also $N = \frac{\ln{2}}{\ln{(1+R/100)}}$. Dabei ist $\ln$ der natürliche Logarithmus. Hat man aber gerade keinen Taschenrechner zur Hand, ist dieser Ausdruck schwer zu berechnen. Den Logarithmus von 2 kann man sich merken, der ist 0,69. Der andere Logarithmus hängt aber von der Rendite ab.

Hier lässt sich auch eine Lösung finden. Man kann den Logarithmus in eine Taylor Reihe entwickeln. Als Physiker macht man das tatsächlich sehr häufig. Dann sieht das ganze so aus $\ln{(1+x)} = -\sum_{k=1}^\infty (-1)^k x^k/k$.

Was im ersten Moment vielleicht noch viel schlimmer aussieht als die Logarithmus Funktion wird sehr viel einfacher, wenn man die Summe einfach einmal ausschreibt: $\ln{(1+x)} = x – \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} – \frac{x^4}{4} + … $. Im Grunde hat diese Summe unendlich viele Terme, die man alle ausrechnen müsste. Ist x also in unserem Fall die Rendite geteilt durch 100 aber kleiner als 1 müssen wir das nicht unbedingt tun. Die Korrekturen durch die späteren Terme werden dann nämlich immer kleiner.

Konvergenz der Taylor Reihe gegen den Grenzwert abhängig davon wie viele Terme man mitnimmt für den Fall mit 7% Rendite.

In der Grafik kann man gut sehen, dass das Ergebnis 0,07 wenn man nur den ersten Term der Reihenentwicklung des Logarithmus nimmt noch nicht sehr genau ist, aber wenn man mehr Terme mitnimmt wird das Ergebnis sehr schnell ununterscheidbar von dem exakten Ergebnis (der horizontalen Linie). Je kleiner die Rendite hier ist, desto genauer ist unsere Annäherung für den Logarithmus. Der größte Wert für den so eine Näherung funktioniert ist 100%. Dann sind die Terme, die wir weglassen in der Summe nämlich nichtmehr kleiner als die vorherigen und damit nichtmehr vernachlässigbar.

Wenn wir tatsächlich nur den ersten Term unserer Reihenentwicklung für den Logarithmus verwenden erhalten wir als Näherung für die oben bestimmte Formel: $N\simeq \frac{69}{\mathrm{R}}$. Nach unserer Herleitung sollte es also viel mehr die 69-er Regel heißen. Es stellt sich heraus, dass man die 72-er Regel eingeführt hat, weil 72 besonders einfach durch viele Zahlen teilbar ist.

Nachdem wir das verstanden haben, können wir auch eine genauere Formel herleiten, falls wir mal ein besseres Ergebnis brauchen. Dafür müssen wir nur den Logarithmus bis zu einer höheren Ordnung einsetzen und erhält $N\simeq\frac{69}{R-R^2/200}$.

Für den Fall von 35% Rendite erhält man als exaktes Ergebnis 2,3 Jahre. Mit der 72-er Regel 2 Jahre und mit unserer neuen Näherung $\frac{69}{35-1225/200} = 2,38$ Jahre.

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